ЗАДАНИЕ ЗАОЧНОГО ТУРА
5-Й СОРОСОВСКОЙ ОЛИМПИАДЫ

по математике

7 класс

1. Иван Иванович пришел в магазин, имея 20 рублей. В магазине продавали веники по 1 руб 17 коп и тазики по 1 руб 66 коп (других товаров в магазине уже не осталось). Сколько веников и сколько тазиков ему нужно купить, чтобы потратить как можно больше денег?

2. На дороге из города А в город Б стоят километровые столбы. На каждом столбе с одной стороны написано расстояние до города А, а с другой — до Б. Утром турист проходил мимо столба, на котором одно число было вдвое больше другого. Пройдя еще 10 км, турист увидел столб, на котором числа отличались ровно в три раза. Каково расстояние от А до Б? Укажите все возможности.

3. В новогоднюю ночь на подоконнике стояли в ряд (слева направо) герань, крокус и кактус. Каждое утро Маша, вытирая пыль, меняет местами цветок справа и цветок в центре. Днём Таня, поливая цветы, меняет местами тот, что в центре, с тем, что слева. В каком порядке будут стоять цветы через 365 дней в следующую новогоднюю ночь?

4. Какое наименьшее количество цифр нужно написать подряд, чтобы вычеркиванием некоторых цифр можно было получить любое трехзначное натуральное число от 100 до 999?

5. На доске была написана обыкновенная несократимая дробь, числитель и знаменатель которой — целые положительные числа. К её знаменателю прибавили числитель, получилась новая дробь. К числителю новой дроби прибавили её знаменатель, получилась третья дробь. Когда к знаменателю третьей дроби прибавили числитель, получилось 13/23 . Какая дробь была написана на доске?

6. Число x таково, что 15% от него и 33% от него — целые положительные числа. Каково наименьшее число x (не обязательно целое!) с таким свойством?

7. Радиоуправляемая игрушка выезжает из некоторой точки. Она движется по прямой, а по команде может поворачивать налево ровно на 17° (относительно прежнего направления движения). Какое наименьшее число команд требуется, чтобы игрушка вновь прошла через точку старта?

8. Квадрат разбит прямыми на 25 прямоугольников (см. рисунок). Площади некоторых из них указаны на рисунке (выполненном не в масштабе). Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.

9. Петя перемножил все натуральные числа от 1 до своего возраста включительно. Получилось число

8841761993739701954543616000000

Сколько лет Пете?

10. В строку написаны 100 целых чисел, при этом сумма любых трёх подряд идущих равна 10 или 11. Первое число равно единице. Чему может быть равно последнее число? Укажите все возможности.

 

 

8 класс

1. Даны две правильные обыкновенные дроби. У первой числитель на 5 меньше знаменателя, у второй числитель на 1998 меньше знаменателя. Может ли у их суммы числитель быть больше знаменателя?

2. В новогоднюю ночь на подоконнике стояли в ряд (слева направо) герань, крокус и кактус. Каждым утром Маша, вытирая пыль, меняет местами цветок справа и цветок в центре. Днём Таня, поливая цветы, меняет местами тот, что в центре, с тем, что слева. В каком порядке будут стоять цветы через 365 дней в следующую новогоднюю ночь?

3. Число x таково, что 15% от него и 33% от него — целые положительные числа. Каково наименьшее число x (не обязательно целое!) с таким свойством?

4. В четырёхугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20°; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом 20°. Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40°.

5. Даны два целых положительных числа a и b. Докажите, что aabb > abba.

6. Квадрат разбит прямыми на 25 прямоугольников (см. рисунок). Площади некоторых из них указаны на рисунке (выполненном не в масштабе). Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.

7. Радиоуправляемая игрушка выезжает из некоторой точки. Она движется по прямой, а по команде может поворачивать налево ровно на 17° (относительно прежнего направления движения). Какое наименьшее число команд требуется, чтобы игрушка вновь прошла через точку старта?

8. В выражении

(a – b + c)(d + e + f)(g – h – k)(l + m – n)(p + q)

раскрыли скобки. Сколько членов при этом получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус?

9. В некоторой стране решили провести всенародные выборы правительства. Две трети избирателей в этой стране — городские жители, а одна треть — сельские. Президент должен предложить на утверждение проект состава правительства из 100 человек. Известно, что за проект проголосует столько процентов городских (сельских) жителей, сколько человек из города (села) в предложенном проекте. Какое наименьшее число городских жителей надо включить в проект состава правительства, чтобы за него проголосовало более половины избирателей?

10. Вася и Петя играют на доске 10 Х 10 в такую игру. У Васи есть много квадратиков размером в одну клетку, у Пети есть много уголков из трёх клеток (см. рисунок). Они ходят по очереди — сначала Вася кладёт на доску свой квадратик, затем Петя свой уголок, потом Вася кладёт ещё квадратик и так далее. (Класть фигуры поверх других нельзя.) Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Вася утверждает, что он всегда сможет выиграть, как бы ни старался Петя. Прав ли Вася?

 

9 класс

1. Расставьте скобки в выражении

2 : 2 – 3 : 3 – 4 : 4 – 5 : 5

так, чтобы получилось число, большее 39.

2. Решите уравнение:

x4 + 4x3 – 8x + 4 = 0.

3. На координатной плоскости изобразите множество точек M(x; y), координаты которых удовлетворяют уравнению

4. На окружности отмечено n точек. Известно, что среди всевозможных расстояний между двумя отмеченными точками не более 100 различных. Каково наибольшее возможное значение числа n?

5. В треугольнике ABC угол BAC равен 60°. Внутри треугольника взята точка P так, что углы APB, BPC и CPA равны 120°. Известно, что AP = a. Найдите площадь треугольника BPC.

6. Сколько решений, удовлетворяющих условию 1 < x < 5, имеет уравнение {x[x]} = 0,5? (Здесь [x] – целая часть x, {x} = x – [x] – дробная часть числа x.)

7. Разрежьте прямоугольник размером 10 см Х 20 см одним прямолинейным разрезом на две части так, чтобы они могли быть без пересечения размещены внутри круга диаметром 19,5 см.

8. Найдите все натуральные числа, десятичная запись которых состоит из различных цифр одной четности, являющиеся точными квадратами.

9. Каково наибольшее значение площади прямоугольного треугольника, вершины которого удалены на расстоя­ния a, b и с от некоторой точки (здесь a – расстояние до вершины прямого угла)?

10. На биссектрисе угла А треугольника ABC внутри треугольника взяты точки D и F так, что

б) окружность, проходящая через D и F и касающаяся отрезка BC, касается окружности, описанной около треугольника ABC.

 

 

10 класс

1. Найдите какое-нибудь натуральное число а такое, что 2а является точным квадратом, 3а – точным кубом, 5а – пятой степенью некоторого натурального числа.

2. На координатной плоскости изобразите все точки M(x; y), координаты которых удовлетворяют неравенствам:

cos (x + y)2 < cos (x – y)2, 0 < x < 3, 0 < y < 3.

3. Найдите два корня уравнения

5x6 – 16x4 – 33x3 – 40x2 + 8 = 0,

произведение которых равно 1.

4. Прямая, касающаяся описанной около равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) окружности в точке B, пересекает прямую АС в точке D, E – середина AB. Чему равна проекция DE на AB, если DA = a?

5. Решите уравнение:

6. В треугольнике ABC проведены биссектрисы внутренних углов AA1, BB1 и CC1 (A1, B1, C1 – на сторонах тре­угольника). Известно, что

7. Разрежьте прямоугольник размером 10 см Х 25 см одним прямолинейным разрезом на две части так, чтобы их можно было бы без пересечения разместить внутри круга диаметром 22,1 см.

8. Сколькими способами из чисел 1, 2, 3, ..., 11 можно выбрать несколько чисел так, чтобы среди выбранных не было трех идущих подряд чисел?

9. Шесть городов расположены в вершинах выпуклого шестиугольника, все углы которого равны. Три стороны этого шестиугольника имеют длину а, а три оставшиеся – длину b (a < b). Надо соединить эти города сетью дорог так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой (возможно, через другие города). Найдите наименьшую длину такой сети дорог.

10. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается BC в точке K, M – середина высоты, опущенной на BC. Прямая KM вторично пересекает вписанную в ABC окружность в точке P. Докажите, что окружность, проходящая через B, C и P, касается окружности, вписанной ­в тре­угольник ABC.

 

 

11 класс

1. Решите уравнение:

x5 + (x + 1)5 + (x + 2)5 + ... + (x + 1998)5 = 0.

2. Найдите наибольшее значение С, для которого для любых x, y, z, u таких, что 0 ? x ? y ? z ? u, имеет место неравенство

(x + y + z + u)2 > Cyz.

3. При каких a из отрезка [0; ¶] существуют a и b, неравные одновременно нулю, при которых неравенство

a cos x + b cos 2x < 0

выполняется при всех x, принадлежащих отрезку [a; ¶]?

4. Дана треугольная пирамида, у которой все плоские углы при одной из вершин прямые. Известно, что существует точка в пространстве, удаленная на расстояние 3 от указанной вершины и на расстояния

от трех других вершин. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды. (Описанная сфера для пирамиды – это сфера, содержащая все ее вершины.)

5. Найдите наименьшее значение выражения

(x – y)2 + (z – u)2,

если (x – 1)2 + (y – 4)2 + (z – 3)2 + (u – 2)2 = 1.

6. Разрежьте прямоугольник размером 10 см Х 20 см одним прямолинейным разрезом на две части так, чтобы они могли быть без пересечения размещены внутри круга диаметром 19,4 см.

7. При каком наименьшем натуральном n найдется многочлен P(x) с целыми коэффициентами, имеющий m различных целых корней, и при этом уравнение P(x) = n имеет хотя бы одно целое решение, если:

а) m = 5, б) m = 6?

8. Внутри треугольника ABC взята точка P так, что углы APB, BPC и CPA равны 120°. Прямые BP и CP пересекают AC и AB в точках M и K. Известно, что четырех­угольник AMPK равновелик треугольнику BCP. Чему равен угол BAC?

 

9. Последовательность an определяется соотношением,

где k > 0.

Известно, что a13 = a1. Какие значения может принимать k?

10. Рассмотрим окружность, касающуюся сторон AB и AC (эти стороны не равны) треугольника ABC и описанной около него окружности. Пусть K, M и P – точки касания этой окружности со сторонами треугольника и описанной около него окружности соответственно, L – середина дуги BC (не содержащей А). Докажите, что прямые KM, PL и BC пересекаются в одной точке.